مشتق ایدهٔ اصلی حساب دیفرانسیل، بخش اول آنالیز ریاضی است که نرخ تغییرات تابع را نشان می‌دهد. مشتق نیز، نظیر انتگرال، از مسئله‌ای در هندسه، یعنی یافتن خط مماس در یک نقطه از منحنی ناشی شده‌است.

مفهوم مشتق تا اوائل قرن ۱۷ میلادی، یعنی تا قبل از آنکه ریاضی‌دان فرانسوی، پییر دو فرما به تعیین اکسترمم‌های چند تابع خاص دست بزند، تنظیم نشده بود. فرما دریافت که خطوط مماس، در نقاطی که منحنی ماکزیمم یا مینیمم دارد، باید افقی باشد. از اینرو به نظرش رسید که مسئلهٔ تعیین نقاط اکسترمم تابع، به حل مسئلهٔ دیگر، یعنی یافتن مماس‌های افقی مربوط می‌شود، تلاش برای حل این مسئلهٔ کلی‌تر بود که فرما را به کشف برخی از ایده‌های مقدماتی مفهوم مشتق هدایت کرد.

در نگاه نخست اینطور به نظر می‌رسید که بین مسئلهٔ یافتن مساحت سطح زیر یک نمودار و موضوع تعیین خط مماس بر منحنی در یک نقطه رابطه‌ای وجود ندارد، اما اولین کسی که دریافت این دو مفهومِ به ظاهر دور از هم، در واقع ارتباط نسبتاً نزدیکی با هم دارند آیزاک بارو معلم آیزاک نیوتون بوده‌است.

اما مفهوم مشتق به شکل امروزی آن، نخستین بار در سال ۱۶۶۶ میلادی توسط نیوتون و به فاصلهٔ چند سال بعد از او، توسط گوتفرید لایب‌نیتس، مستقل از یکدیگر پدید آمد. این دو دانشمند در ادامهٔ کار خود، باز هم به‌طور مستقل، بخش دوم آنالیز ریاضی یعنی حساب انتگرال را عرضه کردند که اساس آن بر عمل انتگرال‌گیری قرار دارد.

نیوتون از شیوهٔ استدلال سینماتیک و با دیدگاه فیزیکی به بررسی مشتق پرداخته و از آن برای بدست آوردن سرعت لحظه‌ای استفاده می‌کرد. اما لایب‌نیتس با دیدگاهی هندسی، از مشتق برای بدست آوردن ضریب زاویهٔ مماس در منحنی‌ها استفاده می‌کرد. هر یک از این دو دانشمند نمادهای جداگانه‌ای را برای نشان دادن مشتق به کار می‌بردند.

پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در دوران بعد به آگوستَن لویی کوشی، برنهارد ریمان و برادران برنولی، یعنی یاکوب و یوهان، مربوط می‌شود. گیوم لوپیتال (به فرانسوی: Guillaume de l’Hôpital)، دانشمند فرانسوی، در سال ۱۶۹۶ نخستین کتاب درسی مربوط به آنالیز ریاضی را با نام «آنالیز بی‌نهایت کوچک‌ها برای بررسی منحنی‌ها» منتشر کرد که در واقع خلاصه‌ای از درس‌هایی بود که یوهان برنولی به عنوان معلم برای او نوشته بود. در این کتاب، قاعدهٔ رفع ابهام در حد، با استفاده از مشتق نیز آمده که به قاعدهٔ هوپیتال مشهور است ولی در واقع متعلق به یوهان برنولی بوده‌است.

فهرست مطالب:

مقدمه

مفهوم مشتق

مشتق تابع f در نقطه a

تابع مشتق پذیر

تعبیر هندسی مشتق

شیب خط مماس

نماد گذاری

سرعت متحرک

مشتقهای راست و چپ

قضیه های مشتق

قضیه تابع چند جمله ای

مشتق مجموع توابع

مشتق حاصلضرب

مشتق عدد ثابت

مشتق تابع کسری

قاعدۀ زنجیری

مشتق گیری ضمنی

مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع سینوس

مشتق تابع کسینوس

مشتق تابع تانژانت

مشتق توابع لگاریتمی و نمایی

مشتق مرتبه های بالاتر

دیفرانسیل

دیفرانسیل متغیر

مفهوم خطا

مشتقهای جزئی تابع دو متغیره

کاربـردهای مشتـق

آزمـون یکنوایی

ماکسیمم و مینیمم تابع

تعبیـر هندســی نقاط اکسترمـم

آزمون مشتق اول برای اکسترمم های نسبی

آزمون مشتق دوم برای اکسترمم های نسبی

اکسترمم های مطلق

روش تعیین اکسترمم های مطلق تابع

تقعر و تحدب و نقطه عطف نمودار تابع

روش تعیین نقاط عطف نمودار تابع

رسم نمودار یک تابع

جدول تغییرات توابع

صورتهای مبهم

قاعده هوپیتال

و…