به مکان هندسی مجموعه‌ای از نقاط در یک صفحه که تفاضل فاصله‌ هر یک از آن‌ها از دو نقطهٔ ثابت در صفحه (کانون‌ها) مقداری ثابت (دو برابر مقدار a در هذلولی) باشد، هذلولی گویند. هذلولی از برخورد یک صفحه با سطح مخروطی، در حالتی که صفحه موازی با محور سطح مخروطی باشد، به وجود می‌آید. اگر نصف اندازه طول و عرض هذلولی را a و b و نصف فاصله کانونی را c بنامیم، در هر هذلولی رابطه c² = a² + b² برقرار خواهد بود. هر هذلولی دو خط مجانب دارد که در مرکز هذلولی با هم برخورد می‌کنند.

هندسه هُذلولوی یکی از هندسه‌های نااقلیدسی است که به هندسه لباچفسکی نیز مشهور است.

نام انگلیسی این نوع هندسه، یعنی (Hyperbolic)، از کلمهٔ یونانی هیپربالئین به معنی “افزایش یافتن” گرفته شده‌است که در آن فاصلهٔ میان نیم‌خط‌ها در اصل توازی افزایش می‌یابد.

هدف از ابداع هندسه هذلولوی پیدا کردن مدل هندسی بود که در آن برای هر نقطه  و هر خط  تعداد نامتناهی خط گذرنده از  و عمود به  موجود باشد. در بعد دو مدلهای اساسی هندسه هذلولوی عبارتند از دیسک پوانکاره و نیم صفحه بالا.

سازگاری هندسه هذلولوی،‌استقلال منطقی اصل توازی را از سایر اصول هندسه اقلیدسی نشان می‌دهد.

نیم صفحه بالا

در این مدل هندسه هذلولوی کوتاهترین مسیرها (ژئودزیک‌ها) عبارتند از خطهای عمودی و نیم دایره‌های عمود بر محور {\displaystyle x}. در هندسه ریمانی چنین هندسه با متریک ریمانی زیر به دست می‌آید.

انحنای این متریک ثابت و برابر 1- می‌باشد.

 

فهرست مطالب:

فصل اول: هندسه اقلیدسی مسطحه

فضای برداری R2

فضای ضرب داخلی R2

صفحه اقلیدسی E2

خط

زوج متعامد یکه

معادله خط

خطوط متعامد

خطوط موازی و متقاطع

انعکاس

قابلیت انطباق و ایزومتری

گروه تقارن

انتقال

دوران

انعکاس های لغزنده

ساختمان گروه ایزومتری

نقاط و خطوط ثابت ایزومتریها

و…

فصل دوم: تبدیل آفین در صفحه اقلیدسی

تبدیل آفین

خط ثابت یک تبدیل آفین

گروه آفین (AF(2

قضیه اساسی هندسه آفین

انعکاس آفین

قیچی

تجانس

تشابه

تقارن آفین

نیم خط و زاویه

مرکز هندسی

تقارنهای یک پاره خط

تقارن های زاویه ای

مختصات مرکز ثقلی

جمع زاویه ها

مثلث

تقارن های مثلث

قابلیت انطباق

قضیه های قابلیت انطباق مثلثها

مجموع زاویه های مثلث

و…

فصل سوم: هندسه کره

مقدمه

مباحثی مقدماتی از E3

ضرب خارجی

پایه متعامد یکه

صفحه

هندسه وقوع کره

فاصله و نامساوی مثلث

نمایش پارامتری خط

خط متعامد

حرکت های S2

تبدیلات متعامد E3

قضیه اویلر

ایزومتریها

نقاط و خطوط ثابت ایزومتریها

قضایای نمایش دیگر

پاره خط

پرتوها، زاویه ها و مثلث ها

مثلثات کروی

پیکره های خطی

قضایای قابلیت انطباق

تقارن های پاره خط

مثلث قائم الزاویه

قضایای تقارب

مثلثهای قابل انطباق

گروههای متناهی دورانها

گروههای متناهی ایزومتری S3

و…

فصل چهارم: هندسه تصویری

مقدمه

ویژگی های وقوع در P2

الگوهای دیگری برای P2 و مختصات همگن

دو قضیه معروف

قضیه دزارگ در E2

گروه تصویری

قضیه اساسی هندسه تصویری

مروری بر همخطی تصویری

قطبی

حاصل ضرب خارجی

و…

فصل پنجم: هندسه طولی در P2

فاصله و نامساوی مثلث

ایزومتری

حرکت در P2

هندسه بیضوی

و…

فصل ششم: صفحه هذلولوی

مقدمه

پیشنیازهای جبری

هندسه وقوع در H2

خطهای متعامد

دسته خطها

فاصله در H2

ایزومتری های H2

انعکاس

حرکت H2

دوران

H2 بعنوان زیر مجموعه ای از P2

تغییر مکان موازی

انتقال

لغزه

حاصلضرب بیش از سه انعکاس

نقاط ثابت ایزومتریها

خطوط ثابت ایزومتریها

و…