تابع یکی از مفاهیم نظریه مجموعه‌ها و حساب دیفرانسیل و انتگرال است. به‌طور ساده می‌توان گفت که به قاعده‌های تناظری که به هر ورودی خود یک و فقط یک خروجی نسبت می‌دهند، تابع گفته می‌شود.

تابع به عنوان مفهومی در ریاضیات، توسط گوتفرید لایبنیتس در سال ۱۶۹۴، با هدف توصیف یک کمیت در رابطه با یک منحنی مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص به‌وجود آمد. امروزه به توابعی که توسط گوتفرید لایبنیتستعریف شدند، توابع مشتق‌پذیر می‌گوییم.

واژهٔ تابع بعدها توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند f(x) = sin(x) + x³.

در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول‌بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس نظریه مجموعه‌ها کردند. وایراشتراس بیشتر خواهان به‌وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.

در ابتدا، ایدهٔ تابع ترجیحاً محدود شد. ژوزف فوریه مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعهٔ توابعی در ریاضی بپردازند که که در سراسر دامنهٔ خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیر نیستند این گونه توابع توسط وایراشتراس معرفی شدند. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به توابع پیوسته و مشتق‌پذیر محدود نشوند.

تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساس نظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. دیریکله و لوباچوسکی هر یک به‌طور مستقل هم‌زمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند.

بر طبق این تعریف، تابع، حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویهٔ منحصربه‌فرد وجود دارد.

تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به‌طور گسترده‌تر در [منطق] است.

فهرست مطالب:

بسط های تیلور و مک لورن

مشتق و انتگرال بسط های تیلور و مک لورن

محاسبه انتگرال با تقریب

محاسبه بسط توابع مختلف

تابع مولد

خواص تابع مولد ها

مشتق n ام تابع مولد در نقطه صفر

قضیه مشتق

قضیه انتگرال

تابع مولد احتمال

گشتاورهای فاکتوریل

پیچش

مثال های حل شده

اثبات قضیه ها

و…