ریاضیات به مطالعه مباحثی چون کمیت (نظریه اعداد)،ساختار (جبر)، فضا (هندسه)، و تغییرات (آنالیز ریاضی) می پردازد. در حقیقت تعریفی جهان شمول که همه بر سر آن توافق داشته باشند برای ریاضیات وجود ندارد.

ریاضیدانان به دنبال الگوهایی هستند که بتوان از آن ها استفاده کرده و حدس های جدیدی را فرموله کرد؛ آن ها درستی یا غلطی حدس ها را توسط اثبات ریاضیاتی نشان می دهند. هرگاه ساختار های ریاضی مدل های خوبی از پدیده های جهان واقعی باشند، استدلال ریاضی می تواند بینش یا پیشبینی هایی برای طبعیت ارائه کند. علم ریاضیات با استفاده از تجرید و منطق از مفاهیمی چون شمردن، محاسبه و اندازه گیری و مطالعه ی نظام مند اشکال و حرکات اشیاء فیزیکی بوجود آمد. ریاضیات کاربردی از زمانی که انسان نوشتن را آموخت، به عنوان فعالیتی بشری وجود داشته است. تحقیقات مورد نیاز برای حل مسائل ریاضی ممکن است سال ها یا حتی قرن ها به درازا بیانجامد.

استدلال های استوار ابتدا در ریاضیات یونان باستان ظاهر شدند، بخصوص در اثر عناصر اقلیدس. از زمان کار های تحقیقاتی جوزپه پئانو (1858-1932)، دیوید هیلبرت (1862-1943) و دیگران بر روی دستگاه اصول موضوعه ای در پایان قرن نوزدهم میلادی، روش تحقیقاتی ریاضیدانان به این شکل درآمده که آن ها حقایق را با استدلال استوار از مجموعه منتخبی از اصول موضوعه و تعاریف بدست می آورند. روند پیشرفت ریاضیات تا زمان رنسانس سرعت نسبتاً آرامی داشت، تا زمانی نوآوری های ریاضیاتی با کشفیات علمی برهمکنش کرده و منجر به افزایش سریع نرخ اکتشافات ریاضی گشت که تا به امروز نیز ادامه دارد .

ریاضیات در بسیاری از زمینه ها مثل علوم طبیعی، مهندسی، پزشکی، اقتصاد و علوم اجتماعی یک علم ضروری می باشد. شاخه های کاملاً جدیدی در ریاضیات بوجود آمده اند مثل نظریۀ بازی ها. ریاضیدانان در ریاضیات محض (مطالعه ریاضی به هدف کشف هرچه بیشتر راز های خود آن) بدون این که هیچ گونه هدف کاربردی در ذهن داشته باشند به تحقیقات می پردازند، در حالی که کاربرد های عملی یافته های آن ها معمولاً بعد ها کشف می شود.

مصری‌ها، بیش از چند هزار سال پیش، برای اندازه‌گیری و نقشه‌برداری از محاسبات و هندسه استفاده می‌کردند. سومری‌ها محاسبات ریاضی را در گذشته کشف کردند. نمادهای باستانی در معبدهای آنان گویای این کشف می‌باشد و از محاسبهٔ ضلع یک مثلث مفاهیم هندسی را بدست آوردند

علم حساب متشکل از اعداد و محاسبه است. در حساب، محاسبات اصلی عبارتند از: جمع، تفریق، ضرب و تقسیم. هندسه به مطالعه خط، زاویه، شکل، و حجم گویند. در یونان اقلیدوس سال‌ها قبل، بیشتر قانون‌های اصلی هندسه را مشخص کرد. جبر: در آن برای نشان دادن کمّیت‌های نامشخص، از x و y استفاده شده‌است.

 

فهرست مطالب:

فصل اول: دنباله ها و سری ها

دنباله

تعریف

مثال

دنباله همگرا

دنباله واگرا

اثبات

مثال

دنباله صعودی

دنباله نزولی

مثال

دنباله کوشی

قواعد محاسبه

مثال

قضیه ساندویچ

مثال

سری

تعریف

مثال

سری همگرا

شرط کوشی برای همگرایی

سری هندسی

جبر سری ها

همگرایی مطلق

همگرایی مشروط

سری متناوب

مثال

آزمون های همگرایی

آزمون مقایسه

مثال

صورت حدی آزمون مقایسه

مثال

آزمون نسبت دالامبر

مثال

آزمون انتگرال

مثال

سری توانی

مثال ها

پیوستگی، مشتق و انتگرال سری توانی

مثال

سری دوجمله ای

مثال

بسط تیلور

بسط مک لورن

مثال

و…

فصل دوم: هندسه تحلیلی

بردار در صفحه

فاصله دو نقطه از هم

طول بردار

مثال

بردار همسنگ

جمع دو بردار

تفریق دو بردار

ضرب عدد در بردار

ویژگی های ضرب عدد در بردار

بردار یکه

تصویر بردار

مثال

مختصات فضایی

فاصله دو نقطه در فضا

تعریف کره

معادله کره

بردارهای فضایی

مثال

زاویه بین دو بردار

ضرب داخلی

مثال

نابرابری کوشی – شوارتس

تصویر بردارها

مثال

خط در صفحه و در فضا

کسینوس های هادی

مثال

بردارهای موازی

معادلات خط در فضا

مثال

دو خط متنافر

معادله صفحه

مثال

زاویه بین دو صفحه

فاصله یک نقطه از یک صفحه

مثال

ضرب خارجی بردارها

مثال

تعبیر هندسی ضرب خارجی

مساحت مثلث

حجم متوازی السطوح

فاصله یک نقطه از یک خط

عمود مشترک دو خط متنافر

و…

فصل سوم: جبر خطی

ماتریس

برابری ماتریس ها

مثال

ضرب ماتریسی

مثال

دستگاه معادلات

انواع ماتریس

ترانهاده یک ماتریس

مثال

وارون ماتریس

مثال

حل دستگاه معادلات با ماتریس

دترمینان

کهاد

مثال

همسازه

دترمینان ماتریس مثلثی

ویژگیهای دترمینان

مثال

ماتریس الحاقی

فضای برداری و تابع خطی

مثال

بردار حقیقی

بردار سطری

بردار ستونی

مثال

ماتریس تابع خطی

و…

فصل چهارم: رویه ها ودیگر دستگاه های مختصات

رویه استوانه ای

مولد

مثال

معادله استوانه

مثال

رویه دوار

سهمیوار دوار

مثال

رویه های درجه دوم

مثال

سهمیوار بیضوی

مختصات استوانه ای و کروی

رابطه مختصات دکارتی و استوانه ای

مثال

استوانه

نیم صفحه

مثال

رابطه مختصات دکارتی و کروی

معادله کره

معادله مخروط

مثال

و…

فصل پنجم: توابع برداری یک متغیره

تابع برداری یک متغیره

دامنه

برد

معادله پارامتری

مثال

پیچوار (هلیس) مدور

پیوستگی

خم

مثال

چرخزاد

مشتق پذیری

مثال

طول خم

طول خم پارامتری

تعریف انتگرال تابع پیوسته

حرکت در صفحه

تعبیرهای مشتق

بردار سرعت متوسط

مثال

شتاب متحرک

بردار یکه مماس

بردار یکه قائم

مولفه های مماسی و قائم سرعت و شتاب

مثال

انحنای مسیر یا خم

محاسبه انحنا بر حسب مختصات

مثال

و…

به همراه بیش از 250 مثال حل شده در تمام بخش ها.