معادله شرودینگر، معادله‌ای است که چگونگی تغییر حالت کوانتومی یک سامانه فیزیکی با زمان را توصیف می‌کند. این معادله در اواخر سال ۱۹۲۵ فرمول بندی شد و در سال ۱۹۲۶ توسط فیزیکدان اتریشی آروین شرودینگر منتشر گردید.

در مکانیک کلاسیک، معادله حرکت، قانون دوم نیوتن است و فرمولبندی‌های معادل آن، معادله اویلر-لاگرانژ و معادله هامیلتون هستند. در همه این فرمول بندی‌ها، برای حل حرکت یک سیستم مکانیکی و پیشگویی ریاضی اینکه سامانه در هر زمان پس از شرایط و پیکربندی‌های اولیه چه حالتی خواهد داشت، استفاده می‌شوند. در مکانیک کوانتومی مشابه قانون دوم نیوتن، معادله شرودینگر برای یک سامانه کوانتومی (معمولاً اتم‌ها، مولکولها، ذرات ریز اتمی (آزاد، بسته، موضعی)) است. این معادله یک معادله جبری ساده نیست ولی (عموماً) یک معادله دیفرانسیل جزئی خطی است. معادله دیفرانسیل شامل تابع موج برای سیستم است که حالت کوانتومی یا بردار حالت نیز نامیده می‌شود.

در تفسیر استاندارد از مکانیک کوانتومی، تابع موج کاملترین توضیحی است که می‌توان در مورد یک سامانه فیزیکی داد. راه حل‌های معادله شرودینگر نه تنها سامانه‌های مولکولی، اتمی و ریز اتمی را توصیف می‌کند بلکه سیستم‌های ماکروسکوپی، حتی کل جهان را نیز توصیف می‌کند. همانند قانون دوم نیوتن، معادله شرودینگر از لحاظ ریاضی می‌تواند به فرمولبندی‌های دیگر از جمله مکانیک ماتریسی ورنر هایزنبرگ و فرمولبندی انتگرال سطحی زیمان تبدیل شود. همچنین همانند قانون دوم نیوتون، معادله شرودینگر زمان را به طریقی توصیف می‌کند که برای نظریه‌های نسبیتی مناسب نیست. مشکلی که در مکانیک ماتریسی به اندازه کافی شدید نیست و در فرمولبندی انتگرال سطحی به‌طور کامل حضور ندارد.

معادله شرودینگر راهی برای بدست آوردن تابع موج محتمل از یک سیستم و چگونگی تفسیر پویای آن با زمان فراهم می‌کند. اگر چه معادله شرودینگر مستقیماً نمی‌گوید که تابع موج دقیقاً چیست. تفسیر مکانیک کوانتومی سوالاتی مانند اینکه چه رابطه‌ای میان تابع موج هست که اساس واقعی دارد و حاصل اندازه‌گیری‌های تجربی است، را مشخص می‌کند. یک جنبه مهم رابطهٔ میان معادله شرودینگر و فروریزش تابع موج است. در گذشته کپنهاگ می‌گفت: ذرات از معادله شرودینگر پیروی می‌کنند به جز در طول فروریزش تابع موج که در آن مقطع به‌طور کاملاً متفاوتی رفتار می‌کند. ظهور نظریه کوانتومی decoherance اجازه داد تا روش‌های جایگزین در جایی که معادلهٔ شرودینگر اغنا می‌شود، فروریزش تابع موج باید از نتیجه معادله شرودینگر توضیح داده شود.

فهرست مطالب:

ذره آزاد

جواب عمومی

حالت اولیه بسته موج

تعبیر احتمالاتی

اهمیت فازها

جریان احتمال

پایستگی و تفسیر آن

در حضور پتانسیل

معادله پایستگی در سه بعد

جریان احتمال در سه بعد

مقادیر انتظاری و تکانه ذره

بهنجارش

محاسبه مقدار انتظاری تکانه

وابستگی زمانی

تعیین مکان بیشینگی چگالی احتمال

مقدار انتظاری مکان و مربع مکان

تابع موج فضای تکانه

مقدار انتظاری تکانه و مربع آن

معادله شرودینگر برای ذره در یک پتانسیل

حقیقی بودن مقدار انتظاری تکانه برای تابع موجهای انتگرال پذیر مجذوری

عملگرهای هرمیتی

ویژه تابعها و ویژه مقدارها

معادله شرودینگر وابسته به زمان

معادله های ویژه مقداری

عملگرهای خطی

جواب کلی معادله شرودینگر وابسته به زمان

مسئله ویژه مقداری برای ذره در جعبه

ویژه مقدارهای انرژی

تعامد ویژه تابعها

استخراج برخی اطلاعات فیزیکی از ویژه تابعها

اصل بسط و تعبیر فیزیکی آن

ویژه تابع تکانه – ذره آزاد

شرط راست هنجاری

واگنی

پاریته

تقارن هامیلتونی

و…