در ریاضیات، انتگرال ریمان–استیلتیِس تعمیمی از انتگرال ریمان است. نام این روش انتگرال‌گیری از دو ریاضی‌دان آلمانی، برنهارت ریمان و توماس یوهانس استیلتیس گرفته شده است. تعمیم استیلتیس از انتگرال ریمان در مقاله طولانی او در مورد کسرهای مسلسل (تدوین شده در سال ۱۸۹۴ میلادی) پنهان شده بود. اهمیت مقاله او پانزده سال بعد، زمانی که فریش ریس در قضیه نمایش خود آن را به کار برد، آشکار شد.

در اوایل قرن بیستم میلادی تعمیم‌های دیگری از انتگرال ارائه گردید که معروف‌ترین و کاراترین آن‌ها انتگرال لبگ است.

• تعریف افراز: فرض کنید [a,b] بازهٔ بسته‌ای باشد. مجموعهٔ {P={a=x_۰,x_۱,x_۲,…,x_n-۱,x_n=b را یک افراز می‌نامند مشروط بر اینکه a=x_۰ <x_۱ <x_۲ <… <x_n-۱ <x_n=b.
• تعریف مجموع‌های بالایی و پایینی: فرض کنید تابع f بر [a,b] حقیقی و کراندار و تابع  بر [a,b] صعودی و P افراز دلخواهی از [a,b] باشد. در این صورت می‌نویسیم:

واضح است که .

مجموع‌های بالایی و پایینی را به ترتیب با  و  نشان می‌دهیم و به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

که در آن‌ها اعداد M_i و m_i به صورت زیر تعریف می‌شوند:

• انتگرال‌های بالایی و پایینی: با مفروضات بالا، انتگرال‌های بالایی و پایینی را به ترتیب به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

هرگاه دو انتگرال بالا با هم برابر باشند در آن صورت گوییم f نسبت به  بر [a,b] انتگرال‌پذیر ریمان–استیلتیس است و می‌نویسیم  بر [a,b].

در تعریف بالا هرگاه ، انتگرال ریمان حالت خاصی از انتگرال ریمان–استیلتیس می‌شود.

فهرست مطالب:

شناخت افزار یک بازه بسته

تعریف مجموعه های بالائی و پائینی ریمان – استیلتیس

تعریف انتگرال بالائی و پائینی

رابطه بین مجموعه های بالائی و پائینی

تعریف انتگرال ریمان – استیلتیس

تعریف توابع انتگرالپذیر

شرط لازم و کافی برای داشتن انتگرال ریمان – استیلتیس

شرط ریمان در مورد توابع انتگرال پذیر

محاسبه انتگرال گیری

بررسی خواص انتگرال

تعریف و کاربرد قضایای حسابان

رابطه بین انتگرال و مشتق

روش انتگرالگیری جزء به جزء

اولین و دومین قضیه مقدار میانگین برای انتگرال

توابع پله ای و انتگرالگیری

تغییر متغیر در انتگرالها

مشتق گیری از انتگرال

قضایا

اثبات قضایا

و…