شاخه‌ای از ریاضیات که به مطالعه گروه‌ها اختصاص دارد نظریه گروه‌ها نامیده می‌شود. گروه از جمله مهم‌ترین ساختارهای جبری است که نقش اساسی در جبر مجرد دارد و در علوم مختلف مانند بلور شناسی، فیزیک، کوانتم و… از اهمیت بالایی برخوردار است.

فکر تشکیل نظریه گروه‌ها زمانی شکل گرفت که ریاضیدانان مشاهده کردند ساختارهایی را که مطالعه می‌کنند در خواصی مشترک هستند و اگر بتوانند همه این خواص را در مورد یک ساختار مشخص بررسی کنند در حقیقت بخش وسیعی از ساختارهای مشابه را مطالعه کرده‌اند و به این ترتیب در زمان صرفه جویی می‌شود.

اصطلاحات موجود در نظریه گروه‌ها

عمل دوتایی – گروه آبلی – زیرگروه – مرکز گروه – هم مجموعه‌ها – مرکز ساز گروه – نرمال ساز گروه – زیرگروه نرمال – مرتبه گروه – مرتبه عضو – گروه دوری – گروه خارج قسمت – گروه متقارن – همومورفیسم – قضایای ایزومورفیسم -حاصل ضرب مستقیم – تزویج – معادله کلاسی – قضیه کیلی – قضیه لاگرانژ – قضیه کوشی – قضایای سیلو.

گروه‌ها در زمینه علوم گوناگون مانند بلورشناسی، کوانتم و فیزیک و رمزنگاری و… دارای کاربردهای فراوان هستند. به عنوان مثال در شیمی و بلورشناسی گروه‌ها برای طبقه‌بندی ساختار بلورها و چندوجهی‌های منظم، تقارن‌های ملکولی استفاده می‌شوند.

بعلاوه از گروه‌ها در زمینه رمزنگاری و مسایل امنیتی نیز استفاده فراوان می‌شود.

همچنین از مفاهیم موجود در این نظریه همانند قضایای سیلو، زیرگروه‌های نرمالف گروه‌های آبلی و… در شاخه‌های گوناگون ریاضیات چون هندسه جبری، توپولوژی جبری، مسایل ترسیم پذیری، نظریه جبری اعداد و.. استفاده می‌شود.

در جبر، گروه دوری گروهی است که توسط یک عضوش تولید می‌شود. به ازای هر عدد طبیعی n یک گروه دوری از مرتبهٔ n وجود دارد. هر دو گروه دوری متناهی هم‌مرتبه، یک‌ریخت هستند.

قضیه‌ها

• فرض کنیم G یک گروه و a عضو G باشد. در اینصورت

زیر گروهی از G و کوچک‌ترین زیرگروه G شامل a است. بدین معنی که هر زیرگروه شامل a شامل H هم هست. H را زیرگروه دوری G شامل a می‌نامیم.

• هر گروه دوری آبلی است.
• هر زیرگروه یک گروه دوری، خود دوری است.
• مجموعهٔ {n-۱ , … , ۱، ۰} با عمل جمع به هنگ n گروهی دوری است دارای n عضو که با Z_n نمایش داده می‌شود.
• هر گروه دوری نامتناهی G با گروه جمعی Z از اعداد صحیح یک‌ریخت (ایزومورف) است.

فهرست مطالب:

یکریختی گروههای دوری

آبلی بودن گروه دوری

عنصر همانی

مرتبه G

زیر گروه گروههای دوری

قضایا

اثبات قضیه ها

مثال ها