پاورپوینت کامل و جامع با عنوان آنالیز حقیقی (Real) و مختلط (Complex) تالیف والتر رودین یا آنالیز حقیقی 1 (Real Analysis 1) در 411 اسلاید
آنالیز حقیقی ( تئوری توابع یک متغیر حقیقی) ،یکی از شاخه‌های ریاضیات است که به مطالعهٔ رفتار و ویژگی‌های توابع حقیقی می‌پردازد.
در این رشته مفاهیمی چون دنباله‌ها و حد آن ها، پیوستگی، دیفرانسیل، انتگرال و دنباله توابع مطالعه میشود. آنالیز حقیقی در محدوده اعداد حقیقی مطرح است.
آنالیز مختلط یا نظریه توابع، نام مبحثی در ریاضیات است که در آن به توابع مشتق‌پذیر با مقادیر مختلط پرداخته میشود.
فهرست مطالب:
فصل اول: انتگرال گیری مجرد
توپولوژی
فضای توپولوژیک
جبر
فضای اندازه پذیر
پیوستگی
تابع مشخص
جبر تولید شده
مجموعه های بورل
نگاشت های بورل
حد بالایی
حد پایینی
حد نقطه به نقطه
قسمت های مثبت و منفی
توابع ساده
خواص مقدماتی اندازه ها
فضای اندازه
اعداد حقیقی گسترش یافته
انتگرال گیری از توابع مثبت
انتگرال لبگ
قضیه همگرایی یکنوای لبگ
لم فاتو
انتگرالگیری از توابع مختلط
قضیه همگرایی تسلطی لبگ
نقش مجموعه های از اندازه صفر
و…
فصل دوم: اندازه های بورل مثبت
فضاهای برداری
تابعی خطی
تابعی خطی مثبت
مقدمات توپولوژیک
بست
فضای هاسدورف
نیمه پیوسته پایینی و بالایی
محافظ
نمادگذاری
لم اوریزن
قضیه افراز واحد
قضیه نمایش ریس
ساختن u و m
یازده مرحله لازم
خواص انتظام اندازه های بورل
اندازه لبگ
سلول
حجم
پایای انتقال
مجموعه های اندازه پذیر لبگ
دترمینان
خواص پیوستگی توابع اندازه پذیر
قضیه لوسین
قضیه ویتالی – کاراتئودوری
و…
فصل سوم: فضای LP
توابع محدب و نامساوی ها
نامساوی ینسن
نماهای مزدوج
فضاهای LP
سوپرمم اساسی
به طور اساسی کراندار
دنباله کشی
تقریب به وسیله توابع پیوسته
در بی نهایت صفر
و…
فصل چهارم: نظریه مقدماتی فضای هیلبرت
حاصل ضرب های داخلی و تابعی های خطی
نامساوی شوارتز
نامساوی مثلثی
فضای هیلبرت
زیرفضا
مجموعه های محدب
تعامد
تصاویر متعامد
مجموعه های متعامد یکه
فضای پیموده شده
متعامد یکه
ضرایب فوریه
یکریختیها
یکریختی فضاهای هیلبرت
مجموعه های جزئی مرتب
قضیه ماکسیمالی هاسدورف
سری های مثلثاتی
چندجمله ای مثلثاتی
دستگاه مثلثاتی
تمامیت دستگاه مثلثاتی
سریهای فوریه
مجموعهای جزئی
قضیه ریس – فیشر
قضیه پارسوال
و…
فصل پنجم: چند نمونه از فضای باناخ
فضاهای باناخ
تبدیل خطی
تصویر هندسی
نتایج قضیه بئر
قضیه رسته ای
قضیه باناخ – اشتاین هاوس
قضیه نگاشت باز
سریهای فوریه توابع پیوسته
ضرایب فوریه توابع L1
لم ریمان – لبگ
قضیه هان – باناخ
نگاهی مجرد به انتگرال پواسون
مرز
انتگرال پواسون
و…
به همراه تمام قضایا و اثبات ها آن ها و مثال های مختلف در هر فصل.