تعریف

هر سری به صورت
=+++…+
را یک سری توانی به مرکز 0 ، و اگر c عددی حقیقی باشد، سری
=+++…+
را یک سری توانی به مرکز c می‌نامیم. توجه کنید که برای سادگی امر ، حتی وقتی x=c ، فرض می‌کنیم که =1 همچنین روشن است که با تغییر متغیر =x-c سری به مرکز c را می‌توان به یک سری به مرکز 0 تبدیل کرد. پس برای سادگی امر ، اغلب سریهای به مرکز 0 را مورد مطالعه قرار می‌دهیم. روشن است که یک سری توانی  همواره به ازای x=0 همگرا است. یک سری توانی ممکن است تنها به ازای x=0 یا به ازای همه مقادیر حقیقی x همگرا باشد.

ویژگیهای سری توانی

1) اگر سری توانی  به ازای عدد ناصفر x= همگرا باشد، آنگاه به ازای هر مقدار x که  همگرای مطلق است.
2) اگر سری توانی  به ازای عدد ناصفر x= واگرا باشد، آنگاه به ازای هر مقدار x که  واگراست.
3) اگر  یک سری توانی باشد، آنگاه دقیقا یکی از حالتهای زیر رخ می دهد:
الف) این سری تنها به ازای x=0 همگراست.
ب) این سری به ازای هر مقدار x همگرای مطلق است.
ج) عدد مثبت r وجود دارد به طوری که سری فوق همگرای مطلق است اگر و واگراست اگر .

شعاع همگرایی

فاصله همگرایی یک سری توانی ، فاصله‌ای واقع بین نقاط r- و r+ است بطوری که به ازای نقاط x درون این فاصله سری همگرایی مطلق و به ازای نقاط x بیرون آن واگراست. عدد r را شعاع همگرایی سری توانی می‌نامند.

فهرست مطالب:

تعریف سری توانی

همگرای مطلق

همگرای یکنواخت

شعاع همگرایی

قضیه آبل

بسط تیلور تابع

یکتایی سری توانی

توابع خاص

خواص تابع نمایی E

تابع لگاریتمی

خواص تابع لگاریتمی

قضیه مشتق توابع

انتگرال توابع

توابع مثلثاتی

و…