معادله دیفرانسیل یکی از معادله های ریاضی است و بیانگر یک تابع مجهول از یک یا چند متغیر مستقل و مشتقهای مرتبه‌های مختلف آن نسبت به متغیرهای مستقل است. بسیاری از قوانین عمومی طبیعت (در فیزیک، شیمی، زیست‌شناسی و ستاره‌شناسی) طبیعی‌ترین بیان ریاضی خود را در زبان معادلات دیفرانسیل می‌یابند. کاربردهای معادلات دیفرانسیل همچنین در ریاضیات، بویژه در هندسه و نیز در مهندسی و بسیاری از حوزه های دیگر کاربردی و فنی فراوان هستند.

معادلات دیفرانسیل در بسیاری پدیده‌های علوم رخ می دهند. هر زمان که یک رابطه بین چند متغیر با مقادیر مختلف در حالت‌ها یا زمان‌های مختلف وجود دارد و نرخ تغییرات متغیرها در زمان‌های مختلف یا حالات مختلف شناخته شده است می‌توان آن پدیده را با معادلات دیفرانسیل بیان کرد.

به عنوان مثال در مکانیک، حرکت جسم بوسیله سرعت و مکان آن در زمان‌های مختلف توصیف می‌شود و معادلات نیوتن به ما رابطه بین مکان و سرعت و شتاب و نیروهای گوناگون وارده بر جسم را میدهد. در چنین شرایطی می توانیم حرکت جسم را در قالب یک معادله دیفرانسیل که در آن مکان ناشناخته جسم تابعی از زمان است بیان کنیم.

روش‌های حل معادلات

به طور کل معادلات دیفرانسیل به سه روش تحلیلی، نیمه تحلیلی و عددی حل می‌شوند. برخی از معادلات دارای جواب دقیق و فرم تابعی هستند اینگونه معادلات را می‌توان از روش‌های تحلیلی حل نمود و به جواب دقیق رسید. معادلات دیگر که دارای فرم تابع مشخص نیستند را بایستی توسط روش‌های نیمه تحلیلی یا عددی حل کرد. از روش‌های نیمه تحلیلی می‌توان به روش تجزیه آدومیان، آنالیز هموتوپی، تبدیل دیفرانسیل و… اشاره کرد. روش‌های عددی دامنه وسیع تری را برای حل معادلات به کار می‌گیرد. از روش‌های عددی می‌توان به روش اویلر، روش هون، روش تیلور، روش رانگ-کوتا، آدامز-بشفورث-مولتون، روش میلن سیمپسون، روش هامینگ، روش رانگ-کوتا فلبرگ مرتبه ۵، روش رحمانزاده کای وایت، روش‌های طیفی و شبه طیفی، روش‌های شبکه‌ای همانند اجزای محدود و تفاضل محدود و روش‌های بدون شبکه اشاره کرد .

انواع سری‌ها

یک سری می‌تواند متناهی یا نامتناهی باشد. سری‌های متناهی را می‌توان با جبر مقدماتی بررسی کرد اما سری‌های نامتناهی ممکن است نیازمند استفاده از آنالیز ریاضی باشند.

مثال‌های سری‌های ساده شامل سری‌های حسابی که مجموع یک تصاعد حسابی است و به صورت زیر نوشته می‌شود:

و سری‌های هندسی، مجموع یک تصاعد هندسی است و به صورت زیر نوشته می‌شود:

فهرست مطالب:

حل معادله دیفرانسیل به روش سریها

سری توانی

شعاع همگرایی

انتگرال گیری از سری توانی

بسط تیلور

بسط مکلورن

نقاط معمولی و منفرد

جواب های سری معادلات دیفرانسیل (در یک نقطه معمولی)

رابطه بازگشتی

معادله دیفرانسیل لژاندر

نقاط منفرد منظم معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم

معادله بسل

سری فروبنیوس

ریشه های معادله شاخص

بررسی حالت کلی معادله دیفرانسیل مرتبه دوم

و…

به همراه بیش از 25 مثال حل شده.